设a>0,b>0,且a+b=1求证(a+1/a)^2+(b+1/b)^2>=25/2
来源:百度知道 编辑:UC知道 时间:2024/07/05 05:22:34
(a+ 1/a)^2+(b+ 1/b)^2
=4+a^2+b^2+1/(a^2)+1/(b^2)
=4+(a^2+b^2)[1+1/(a^2*b^2)]
=4+(1-2ab)[1+(1/ab)^2]
显然,随着ab值的增大,值会减小;
即ab取最大值时,(a+ 1/a)^2+(b+ 1/b)^2有最小值;
2ab<=a^2+b^2=1-2ab,所以,ab<=1/4,此时a=b=1/2;
将a,b带入原式,所以
(a+ 1/a)^2+(b+ 1/b)^2
≥(2+1/2)^2+(2+1/2)^2=25/2
先求(a+1/a)(b+1/b)
左式=ab+a/b+1/ab+b/a
=(a2b2+a2+1+b2)/ab
=[a2b2+(1-2ab)+1]/ab
=[(ab-1)2+1]/ab
a+b=1
ab<=[(a+b)/2]²=1/4
所以(ab-1)^2+1≥25/16,0<ab≤1/4,1/ab≥4
相乘得到,左式≥25/4
因为原式=(a+1/a)^2+(b+1/b)^2≥2(a+1/a)(b+1/b)≥25/2
设a>b>0,比较(a^2-b^2)/(a^2+b^2)与(a-b)/(a+b)的大小.
设a,b,c R,且a+b+c>0,ab+bc+ac>0,abc>0求证a,b,c均大于零
设椭圆方程X^2/a^2+y^2/b^2(a>b>0)
[高中数学]设a>0,b>0.则以下不等式中不恒成立的是
a,b,c>0 a,b,c>0
a>b则a+b>0吗?
设a>0,b>0,且根号a(根号a+根号b)=3根号b(根号a+5根号b) 求a-b+根号ab/2a+3b+根号ab
a>0 b>0 a.b=a+b+1 求a+b最小值
设a>0,b>0,a+b=1,求证1/a + 1/b + 1/ab大于等于8
设a>b>0,p=a+1/[(a-b)b],则p与3的大小关系是多少?